確率変数/隨機變數/Random Variable
- 例如事件\(x\)為擲一公正骰子出現的各個點數，\(x\)就會等於\(1\)~\(6\)，
則此時確率変数\(X={1, 2, 3, 4, 5, 6}\)。
確率変数又可細分為:
- 離散型
確率変数\(X\)可能的值有k個分別為\(x_1, x_2,...,x_k\)，這些值都有其對應的機率。
- \(P(X=x_i)=p(x_i)=p_i (i=1,2,...,k)\)
- \(p_1+p_2+...+p_k=\sum_{i=1}^{k}p_i=1\)
- 以骰子為例:
\(P(X=1)=\frac{1}{6}, P(X=2)=\frac{1}{6}, P(X=3)=\frac{1}{6}\)
\(P(X=4)=\frac{1}{6}, P(X=5)=\frac{1}{6}, P(X=6)=\frac{1}{6}\)
或者寫成\(P(X=x)=\frac{1}{6}\quad (x=1,2,3,4,5,6)\) - 以硬幣為例:
\(P(X=0)=\frac{1}{2}, P(X=1)=\frac{1}{2}\)
或者寫成\(P(X=x)=\frac{1}{2}\quad (x=0,1)\)
又稱為離散型一様分布/離散型均勻分布/Discrete Uniform Distribution。 - 以骰子為例:
- 連續型
確率変数\(X\)可能的值是連續的，因爲不是一對一對應關係，
所以要算機率的話會用某區間段來算。
\(X\)在區間\([a,b]\)內算出來機率為\(P(a\leq X\leq B)\)。
- 例:某高中的高一裡面選一個人，他的體重大於60kg小於80kg的機率是0.6，
\(P(60\leq X\leq 80)=0.6\)
- 例:某高中的高一裡面選一個人，他的體重大於60kg小於80kg的機率是0.6，
如果確率変数\(X\)與確率分布\(D\)有對應關係的話，
會說確率変数\(X\)は確率分布\(D\)に従う(不知怎翻成中文)。
確率分布/機率分布/Probability Distribution
下表為第一點提到的公正骰子的機率分布
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | 1 |
- 例題: 投一枚正反面發生機率相同的硬幣，出現正面時X=1；反面時X=0。
求此機率變數的機率分布。
Ans:
| \(x\) | 0 | 1 | 合計 |
|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 |
確率変数の平均(期待値)
\(\mu = E(X)=x_1p_1+x_2p_2+...+x_kp_k=\sum_{i=1}^{k}x_ip_i\)
骰子的期望值:
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | 1 |
| \(x\cdot p(x)\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{2}{6}\) | \(\frac{3}{6}\) | \(\frac{4}{6}\) | \(\frac{5}{6}\) | \(\frac{6}{6}\) | \(\frac{21}{6}\) |
- 確率変数為\(aX+b\)，\(E(aX+b)=aE(X)+b\)
例: \(10X+5=10\times \frac{21}{6}=40\) - 如果確率変数為\(X^2\)，\(E(X^2)=\sum_{i=1}^{k}x_i^2p_i\)
例: \(X^2=1^2\times \frac{1}{6}+2^2\times \frac{1}{6}+...+6^2\times \frac{1}{6}=\frac{91}{6}\)
確率変数の分散と標準偏差
- 分散:
\(V(X)=E((X-\mu)^2)=E(X^2)-\left \{E(X)\right \}^2\)
證明:
\[\begin{eqnarray*} V(X)&=&(x_1-\mu)^2p_1+(x_2-\mu)^2p_2+...+(x_k-\mu)^2p_k\\\\ &=&\sum_{i=1}^{k}(x_i-\mu)^2p_i\\\\ &=&\sum_{i=1}^{k}(x_i^2-2\mu x_i+2\mu^2)p_i\\\\ &=&\sum_{i=1}^{k}x_i^2p_i-2\mu \sum_{i=1}^{k}x_ip_i+\mu^2\sum_{i=1}^{k}p_i\quad (\because \sum_{i=1}^{k}x_ip_i=E(X)=\mu)\\\\ &=&\sum_{i=1}^{k}x_i^2p_i-2\mu\times\mu+\mu^2\times1\\\\ &=&E(X^2)-\mu^2\\\\ &=&E(X^2)-\left \{E(X)\right \}^2 \end{eqnarray*}\]
標準偏差:
\(\sigma (X)=\sqrt{V(X)}\)- 確率変数為\(aX+b\):
- \(V(aX+b)=a^2V(X)\)
- \(\sigma(aX+b)=\left | a \right | \sigma(X)\)
- \(V(aX+b)=a^2V(X)\)
練習題
不公正骰子的機率分布:
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(\frac{1}{12}\) | \(\frac{1}{12}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{12}\) | \(\frac{1}{12}\) | \(\frac{1}{3}\) | 1 |
- Q1: 求確率変数\(X\)的平均、分散、標準偏差?
- Q2: 求確率変数\(Y=6X+10\)的平均、分散、標準偏差?
先求\(E(X)=1\times \frac{1}{12}+2\times \frac{1}{12}+...+6\times \frac{1}{3}=4\)
再求\(E(X^2)=1^2\times \frac{1}{12}+2^2\times \frac{1}{12}+...+6^2\times \frac{1}{3}=\frac{113}{6}\)
- A1:
- \(E(X)=4\)
- \(V(X)=E(X^2)-\left \{E(X)\right \}^2=\frac{113}{6}-4^2=\frac{17}{6}\)
- \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\approx 1.68\)
- \(E(X)=4\)
- A2:
- \(E(Y)=E(6X+10)=6E(X)+10=6\times4+10=34\)
- \(V(Y)=V(6X+10)=6^2V(X)=6^2\times \frac{17}{6}=102\)
- \(\sigma(Y)=\sigma(6X+10)=\)
- \(\sqrt{V(6X+10)}=\sqrt{102}\approx 10.1\)
- \(\left | a \right | \sigma(X)=6\times 1.68\approx 10.1\)
- \(\sqrt{V(6X+10)}=\sqrt{102}\approx 10.1\)
- \(E(Y)=E(6X+10)=6E(X)+10=6\times4+10=34\)